| صنف فرعي من | |
|---|---|
| جزء من | |
| ممثلة بـ | |
| نظام تصنيف حوسبة رابطة مكائن الحوسبة (2012) |
10003700  |
العملية التصادفية أو العملية العشوائية،، أو الاحتمالية، في نظرية الاحتمالات والمجالات المرتبطة، هي موضوع رياضي يعرف عادةً بوصفه مجموعة من المتغيرات العشوائية. تاريخيًا، ترتبط المتغيرات العشوائية ويُشار إليها بواسطة أرقام محددة، تظهر عادةً بوصفها نقاطًا زمنية، ما يفسر العملية التصادفية المتمثلة بقيم عددية في بعض النظم الاحتمالية المتغيرة بمرور الزمن، مثل النمو البكتيري، وتقلب التيار الكهربي خلال التشويش الحراري، أو حركة جزيئات الغاز.[1][2][3][4]
تُستخدم العمليات العشوائية بتوسع بوصفها نماذج رياضية للأنظمة والظواهر التي تظهر تفاوتًا في نمط العشوائية. وفي أنظمة عديدة تتضمن علوم الأحياء[5] والكيمياء[6] وعلوم البيئة[7] والعلوم العصبية[8] والفيزياء[9] والتكنولوجيا، ومجالات الهندسة مثل المعالجة التصويرية، ومعالجة الإشارة[10] ونظرية المعلومات[11] وعلم الحاسوب[12] وعلم التعمية[13] والاتصالات.[14] أيضًا تطبق العشوائية في الأسواق المالية التي تحفز الاستخدام الواسع للعملية العشوائية في التمويل.[15][16][17]
أدت تطبيقات الظاهرة ودراستها إلى اقتراح عمليات عشوائية جديدة، مثل عملية فينر والحركة البراونية، التي استخدمها لوي باشوليي لدراسة تغيرات الأسعار في بورصة باريس،[18] وعملية بواسون، التي استخدمها إي. كي. إيرلنغ لدراسة أرقام الاتصالات الهاتفية التي تحدث في فترة معينة.[19] هاتان العمليتان هما الأهم في نظرية العملية التصادفية،[20] وقد اكتُشفتا مرارًا، قبل وبعد باشيليه وإيرلنغ.[18][21]
يُستخدم مُصطلح العمل العشوائي للإشارة إلى العملية التصادفية أو الاحتمالية،[22][23] إذ تُفسر العملية التصادفية بأنها عنصر عشوائي في مجال الدالة.[24][25] يُستخدم مصطلحا العملية التصادفية والاحتمالية بالتبادل، غالبًا في المجال الرياضي غير المحدد، للإشارة إلى المتغيرات العشوائية.[24][26] يُستخدم هذان المصطلحان عندما يُشار إلى المتغيرات العشوائية بواسطة أعداد صحيحة أو فاصلة للخط الحقيقي.[24] أما عندما يُشار إلى المتغيرات العشوائية بواسطة التصميم الديكارتي أو الفضاء الإقليدي متعدد الأبعاد، يُطلق حينها على مجموعة التغيرات العشوائية اسم المجال العشوائي.[3][27] ليست قيم العملية التصادفية أرقامًا دائمًا، بل قد تكون قوى موجهة أو كائن رياضي آخر.[3][25]
استنادًا إلى الخصائص الرياضية، تُصنف العملية التصادفية إلى فئات متعددة، تتضمن الاختيار التجريبي[28] والمراهنات[29] وعملية ماركوف[30] وعملية ليفاي[31] والعمليات الغاوسية[32] والمجالات العشوائية[33] وعملية التجديد.[34] تستخدم دراسة العملية التصادفية علم الرياضيات وتقنيات من الاحتمالية وحساب التفاضل والتكامل والجبر الخطي ونظرية المجموعات وعلم البدائل.[35][36][37] كما هو الحال في فروع التحليل الرياضي والتحليل الحقيقي والنظرية القياسية وتحليل فورييه والتحليل العملي.[38][39][40] تُعَد نظرية العملية التصادفية مساهمةً مهمة في الرياضيات،[41] وتمثل باستمرار موضوعًا فعالًا لبحث الأسباب النظرية والتطبيقات.[42][43][44]
تمهيد
تُعرَف العملية التصادفية أو الاحتمالية بوصفها مجموعة من المتغيرات بواسطة بعض المجموعات الرياضية، ما يعني ترابط ذلك التغير العشوائي للعملية العشوائية على نحو فريد مع عنصر في المجموعة.[2][3] تُستخدم المجموعة للإشارة إلى التغيرات العشوائية التي تُسمى مجموعة المؤشر. تاريخيًا كان جزء من وضع المؤشر مجموعة جزئية للخط الحقيقي، مثل الأرقام الطبيعية، تعطي مجموعة المؤشر تفسيرًا للوقت.[1] كل متغير عشوائي في المجموعة يأخذ قيمًا من نفس المجال الرياضي المعروف بحالة المجال. حالة المجال قد تكون الأعداد الصحيحة أو الخط الحقيقي أو الفضاء الإقليدي.[1][3] الزيادة في مقدار تغير العملية التصادفية تكون بين قيمتي مؤشر، يُفسران غالبًا بوصفهما نقطتين في الزمن.[45][46] العملية التصادفية قد يكون لها العديد من النتائج، وتُسمى الإشارة الناتجة من العملية التصادفية دالة العينة أو التحقيق.[47][25]
التصنيف
تُصنف العملية التصادفية بطرق مختلفة، مثلًا بواسطة حالة المجال، أو وضع المؤشر، أو الاعتماد بين التغيرات العشوائية. من الطرق الشائعة للتصنيف الطريقة الأساسية لوضع المؤشر وحالة المجال.[48][49][50]
عند تفسيرها بوصفها زمنًا، قد يحدد وضع مؤشر العملية التصادفية عددًا محددًا من العناصر، مثل المجموعة المحدودة، مجموعة الأعداد الصحيحة أو الأعداد الطبيعية، حينها يمكن القول إن العملية التصادفية تكون في زمن منفصل.[51][52] إذا احتوى وضع المؤشر بعض فواصل الخط الحقيقي، حينها يُقال إن الوقت مستمر.[45][53][54] العملية التصادفية المتمثلة في نوعين يشيران إلى الزمن المنفصل والمستمر للعملية العشوائية. تعَد العملية العشوائية متصلة الزمن أسهل للدراسة، لأن الزمن المستمر يتطلب الكثير من التقنيات الرياضية الحديثة.[55][56] إذا كان الوضع المؤشر هو الأعداد الصحيحة، أو بعض مجموعاتها، تُسمى العملية التصادفية التسلسل العشوائي.[52]
إن كانت حالة المجال ذات أعداد صحيحة أو طبيعية، تُسمى عملية عشوائية منفصلة أو ذات قيمة صحيحة. إذا كانت حالة المجال هي الخط الحقيقي، تشير العملية التصادفية إلى العملية التصادفية للقيمة الحقيقية أو عملية ذات حالة مجال مستمرة. إذا كانت حالة المجال ذات قياسات هندسية، تُسمى العملية التصادفية عملية ذات قياسات القوة الموجهة أو عملية القوة الموجهة.[48][49]
أصل التسمية
في الأصل تُستخدم كلمة تصادفي أو عشوائي لوصف تعريف (مرتبط بالحدس)، وتتضمن معنى الكلمة الإغريقية (يهدف إلى علامة، تخمين)، وتضمن قاموس أوكسفورد الإنجليزي التعريف سنة 1662. سنة 1713، استخدم ياكوب بيرنولي عبارة (النقل الحديث قبل العشوائية)، التي تُرجمت إلى (فن الحدس أو العشوائية).[57] استخدم هذه العبارة لاديسلاوس بورتكيويسز الذي كتب سنة 1917 كلمة العشوائية مع إدراك معنى الاحتمالية.[58] ظهر مصطلح العملية التصادفية أولًا في ورقة تعود إلى جوزيف دوب سنة 1934، واستخدم الألماني ألكسندر كينجن مصطلح العملية التصادفية،[59] رغم أن المصطلح الألماني قد استخدمه سابقًا أندري كولموغوروف سنة 1931.[60]
وفقًا لقاموس أوكسفورد، ظهرت كلمة (عشوائي) الإنكليزية بمعناها المرتبط بالفرصة أو الحظ في القرن الـ16، أما قبل ذلك فقد استُخدمت الكلمة للتعبير عن التهور أو السرعة الكبيرة أو القوة أو العنف، وتأتي الكلمة من كلمة فرنسية متوسطة بمعنى سرعة أو تسرع، ومن المحتمل أنها مُشتقة من الفعل الفرنسي (يجري) أو (يعدو سريعًا).[61]
علم المصطلحات
يتنوع تعريف العملية التصادفية،[62] لكنها تُعرف تقليديًا بوصفها مجموعة من تغيرات عشوائية تشير إليها بعض المجموعات.[63][64] يُعَد مصطلحا العملية الاحتمالية والعملية التصادفية مترادفين ويُستخدما بالتبادل، دون تحديد وضع المؤشر بدقة.[24][26][27][65][66][67] قد يُستخدم مصطلح (المجموعة)[25][65] أو (العائلة)[2][68] بدلاً من (وضع المؤشر)، وتُستخدم أحيانًا مصطلحات (عامل متغير القيمة)[25] أو (مجال العامل المتغير).[27]
يُستخدم مصطلح العمل العشوائي أيضًا للإشارة إلى العملية التصادفية أو الاحتمالية،[3][69][70] رغم أنه يستخدم أحيانًا فقط عندما تأخذ العملية التصادفية قيمًا حقيقية.[25][68] يُستخدم هذا المصطلح أيضًا حين يكون وضع المؤشر مجالات رياضية سوى الخط الحقيقي،[3][71] أما مصطلحات العملية التصادفية والعملية الاحتمالية فتُستخدم عادةً عند تفسير وضع المؤشر بوصفه نقاطًا زمنية،[3][71][72] وقد تُستخدم مصطلحات أخرى كما هو الحال في المجال العشوائي، عندما يكون وضع المؤشر مجالًا ذا أبعاد إقليدية أو متعددة.[3][25][27]
أمثلة
عملية برنولي
عملية برنولي من العمليات العشوائية البسيطة،[73] وهي تسلسل لتوزيع مستقل ومتطابق لتغيرات عشوائية، إذ يأخذ التغير العشوائي القيمة (1) أو (0)، ولتكن (1) مع الاحتمالية p و(0) مع الاحتمالية 1- p. يمكن ربط هذه العملية برمي عملة معدنية عدة مرات، حيث إن احتمالية الحصول على الصورة هي p وقيمته (1)، وللكتابة هي (0).[74] أي إن عملية برنولي تسلسل لتوزيع مستقل ومتطابق لتغيرات عشوائية،[75] حيث إن كل رمية للعملة المعدنية هي مثال لتجربة برنولي.[76]
الاختبار التجريبي
الاختبارات التجريبية هي عملية عشوائية تعرف عادةً بأنها مجموع المتغيرات العشوائية أو القوى الموجهة العشوائية في المجال الإقليدي، إذ إنها عمليات تتغير في وقت منفصل.[77][78][79][80][81] لكن البعض يستخدم المصطلح للإشارة إلى العمليات التي تتغير في وقت مستمر،[82] خاصةً عملية واينر المُستخدمة في التمويل، والتي أدت إلى بعض الارتباك، ما أدى إلى انتقادها.[83] للاختبارات التجريبية أنواع متعددة أخرى، التي قد تكون -وفقًا لحالاتها المجالية- أهدافًا رياضية أخرى، مثل الشبكات والمجموعات، وقد دُرست عمومًا باستفاضة ولها العديد من الاستعمالات.[82][84]
يُعرف المثال الكلاسيكي للاختبار التجريبي بالاختبار التجريبي البسيط، وهو عملية عشوائية في الوقت المنفصل مع الأعداد الصحيحة كما في حالة المجال، وبُنيت عمومًا على أساس عملية برنولي، إذ يأخذ كل متغير لبرنولي إما قيمة (+1) أو (-1). أي إن الاختبار التجريبي البسيط يأخذ مجالاً على الأعداد الصحيحة، وترتفع قيمته بمقدار (1) مع الاحتمالية (p)، أو تنخفض بمقدار (1) مع الاحتمالية (1- p)، إذن فإن وضع المؤشر لهذا الاختبار التجريبي هو الأعداد الطبيعية، أما مجاله فهو الأعداد الصحيحة.[85][86]
انظر أيضًا
مراجع
- ^ ا ب ج Joseph L. Doob (1990). Stochastic processes. Wiley. ص. 46, 47. مؤرشف من الأصل في 2020-07-30.
- ^ ا ب ج Emanuel Parzen (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. ص. 7, 8. ISBN:978-0-486-79688-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ ا ب ج د ه و ز ح ط Iosif Ilyich Gikhman؛ Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. ص. 1. ISBN:978-0-486-69387-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ Gagniuc، Paul A. (2017). Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation. NJ: John Wiley & Sons. ص. 1–235. ISBN:978-1-119-38755-8.
- ^ Paul C. Bressloff (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ISBN:978-3-319-08488-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ N.G. Van Kampen (2011). Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier. ISBN:978-0-08-047536-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ Russell Lande؛ Steinar Engen؛ Bernt-Erik Sæther (2003). Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation. Oxford University Press. ISBN:978-0-19-852525-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ Carlo Laing؛ Gabriel J Lord (2010). Stochastic Methods in Neuroscience. OUP Oxford. ISBN:978-0-19-923507-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
- ^ Wolfgang Paul؛ Jörg Baschnagel (2013). Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science & Business Media. ISBN:978-3-319-00327-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ Edward R. Dougherty (1999). Random processes for image and signal processing. SPIE Optical Engineering Press. ISBN:978-0-8194-2513-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Thomas M. Cover؛ Joy A. Thomas (2012). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons. ص. 71. ISBN:978-1-118-58577-1. مؤرشف من الأصل في 29 مايو 2020. اطلع عليه بتاريخ أكتوبر 2020.
{{استشهاد بكتاب}}: تحقق من التاريخ في:|تاريخ الوصول=(مساعدة) - ^ Michael Baron (2015). Probability and Statistics for Computer Scientists, Second Edition. CRC Press. ص. 131. ISBN:978-1-4987-6060-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Jonathan Katz؛ Yehuda Lindell (2007). Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols. CRC Press. ص. 26. ISBN:978-1-58488-586-3. مؤرشف من الأصل في 2021-08-17.
- ^ François Baccelli؛ Bartlomiej Blaszczyszyn (2009). Stochastic Geometry and Wireless Networks. Now Publishers Inc. ISBN:978-1-60198-264-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ J. Michael Steele (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media. ISBN:978-0-387-95016-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ Marek Musiela؛ Marek Rutkowski (2006). Martingale Methods in Financial Modelling. Springer Science & Business Media. ISBN:978-3-540-26653-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
- ^ Steven E. Shreve (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science & Business Media. ISBN:978-0-387-40101-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ ا ب Jarrow، Robert؛ Protter، Philip (2004). "A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970". A Festschrift for Herman Rubin. Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series. ص. 75–80. CiteSeerX:10.1.1.114.632. DOI:10.1214/lnms/1196285381. ISBN:978-0-940600-61-4. ISSN:0749-2170.
- ^ Stirzaker، David (2000). "Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary". The Mathematical Gazette. ج. 84 ع. 500: 197–210. DOI:10.2307/3621649. ISSN:0025-5572. JSTOR:3621649.
- ^ Donald L. Snyder؛ Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. ص. 32. ISBN:978-1-4612-3166-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ Guttorp، Peter؛ Thorarinsdottir، Thordis L. (2012). "What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes". International Statistical Review. ج. 80 ع. 2: 253–268. DOI:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN:0306-7734.
- ^ Gusak، Dmytro؛ Kukush، Alexander؛ Kulik، Alexey؛ Mishura، Yuliya؛ Pilipenko، Andrey (2010). Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory. Springer Science & Business Media. ص. 21. ISBN:978-0-387-87862-1. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Valeriy Skorokhod (2005). Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. ص. 42. ISBN:978-3-540-26312-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
- ^ ا ب ج د Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. ص. 24–25. ISBN:978-0-387-95313-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ ا ب ج د ه و ز John Lamperti (1977). Stochastic processes: a survey of the mathematical theory. Springer-Verlag. ص. 1–2. ISBN:978-3-540-90275-1. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ ا ب Loïc Chaumont؛ Marc Yor (2012). Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning. Cambridge University Press. ص. 175. ISBN:978-1-107-60655-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
- ^ ا ب ج د Robert J. Adler؛ Jonathan E. Taylor (2009). Random Fields and Geometry. Springer Science & Business Media. ص. 7–8. ISBN:978-0-387-48116-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ Gregory F. Lawler؛ Vlada Limic (2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press. ISBN:978-1-139-48876-1. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ David Williams (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-40605-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ L. C. G. Rogers؛ David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. ISBN:978-1-107-71749-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ David Applebaum (2004). Lévy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-83263-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ Mikhail Lifshits (2012). Lectures on Gaussian Processes. Springer Science & Business Media. ISBN:978-3-642-24939-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
- ^ Robert J. Adler (2010). The Geometry of Random Fields. SIAM. ISBN:978-0-89871-693-1. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ Samuel Karlin؛ Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ISBN:978-0-08-057041-9. مؤرشف من الأصل في 2020-06-20.
- ^ Bruce Hajek (2015). Random Processes for Engineers. Cambridge University Press. ISBN:978-1-316-24124-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ G. Latouche؛ V. Ramaswami (1999). Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling. SIAM. ISBN:978-0-89871-425-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ D.J. Daley؛ David Vere-Jones (2007). An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure. Springer Science & Business Media. ISBN:978-0-387-21337-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Patrick Billingsley (2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. ISBN:978-81-265-1771-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. ISBN:978-3-319-09590-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ Adam Bobrowski (2005). Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction. Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-83166-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Applebaum، David (2004). "Lévy processes: From probability to finance and quantum groups". Notices of the AMS. ج. 51 ع. 11: 1336–1347.
- ^ Jochen Blath؛ Peter Imkeller؛ Sylvie Rœlly (2011). Surveys in Stochastic Processes. European Mathematical Society. ISBN:978-3-03719-072-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Michel Talagrand (2014). Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes: Modern Methods and Classical Problems. Springer Science & Business Media. ص. 4–. ISBN:978-3-642-54075-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Paul C. Bressloff (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ص. vii–ix. ISBN:978-3-319-08488-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-26.
- ^ ا ب Samuel Karlin؛ Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ص. 27. ISBN:978-0-08-057041-9. مؤرشف من الأصل في 2020-06-20.
- ^ Applebaum، David (2004). "Lévy processes: From probability to finance and quantum groups". Notices of the AMS. ج. 51 ع. 11: 1337.
- ^ L. C. G. Rogers؛ David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. ص. 121–124. ISBN:978-1-107-71749-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ ا ب Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ص. 294, 295. ISBN:978-1-118-59320-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ ا ب Samuel Karlin؛ Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ص. 26. ISBN:978-0-08-057041-9. مؤرشف من الأصل في 2020-06-20.
- ^ Donald L. Snyder؛ Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. ص. 24, 25. ISBN:978-1-4612-3166-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ Patrick Billingsley (2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. ص. 482. ISBN:978-81-265-1771-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ ا ب Alexander A. Borovkov (2013). Probability Theory. Springer Science & Business Media. ص. 527. ISBN:978-1-4471-5201-9. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. ص. 120. ISBN:978-3-319-09590-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ Jeffrey S Rosenthal (2006). A First Look at Rigorous Probability Theory. World Scientific Publishing Co Inc. ص. 177–178. ISBN:978-981-310-165-4. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Peter E. Kloeden؛ Eckhard Platen (2013). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer Science & Business Media. ص. 63. ISBN:978-3-662-12616-5. مؤرشف من الأصل في 29 مايو 2020. اطلع عليه بتاريخ أكتوبر 2020.
{{استشهاد بكتاب}}: تحقق من التاريخ في:|تاريخ الوصول=(مساعدة) - ^ Davar Khoshnevisan (2006). Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields. Springer Science & Business Media. ص. 153–155. ISBN:978-0-387-21631-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ O. B. Sheĭnin (2006). Theory of probability and statistics as exemplified in short dictums. NG Verlag. ص. 5. ISBN:978-3-938417-40-9. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Oscar Sheynin؛ Heinrich Strecker (2011). Alexandr A. Chuprov: Life, Work, Correspondence. V&R unipress GmbH. ص. 136. ISBN:978-3-89971-812-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
- ^ Khintchine، A. (1934). "Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse". Mathematische Annalen. ج. 109 ع. 1: 604–615. DOI:10.1007/BF01449156. ISSN:0025-5831.
- ^ Kolmogoroff، A. (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung". Mathematische Annalen. ج. 104 ع. 1: 1. DOI:10.1007/BF01457949. ISSN:0025-5831.
- ^ "Random". قاموس أوكسفورد الإنجليزي (ط. الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد. سبتمبر 2005.
- ^ Bert E. Fristedt؛ Lawrence F. Gray (2013). A Modern Approach to Probability Theory. Springer Science & Business Media. ص. 580. ISBN:978-1-4899-2837-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ L. C. G. Rogers؛ David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. ص. 121, 122. ISBN:978-1-107-71749-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Søren Asmussen (2003). Applied Probability and Queues. Springer Science & Business Media. ص. 408. ISBN:978-0-387-00211-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ ا ب David Stirzaker (2005). Stochastic Processes and Models. Oxford University Press. ص. 45. ISBN:978-0-19-856814-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
- ^ Murray Rosenblatt (1962). Random Processes. Oxford University Press. ص. 91. مؤرشف من الأصل في 2021-03-08.
- ^ John A. Gubner (2006). Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press. ص. 383. ISBN:978-1-139-45717-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
- ^ ا ب Kiyosi Itō (2006). Essentials of Stochastic Processes. American Mathematical Soc. ص. 13. ISBN:978-0-8218-3898-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ M. Loève (1978). Probability Theory II. Springer Science & Business Media. ص. 163. ISBN:978-0-387-90262-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. ص. 133. ISBN:978-3-319-09590-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ ا ب Gusak et al. (2010), p. 1
- ^ Richard F. Bass (2011). Stochastic Processes. Cambridge University Press. ص. 1. ISBN:978-1-139-50147-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
- ^ Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ص. 293. ISBN:978-1-118-59320-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ص. 301. ISBN:978-1-118-59320-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Dimitri P. Bertsekas؛ John N. Tsitsiklis (2002). Introduction to Probability. Athena Scientific. ص. 273. ISBN:978-1-886529-40-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
- ^ Oliver C. Ibe (2013). Elements of Random Walk and Diffusion Processes. John Wiley & Sons. ص. 11. ISBN:978-1-118-61793-9. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
- ^ Achim Klenke (2013). Probability Theory: A Comprehensive Course. Springer. ص. 347. ISBN:978-1-4471-5362-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Gregory F. Lawler؛ Vlada Limic (2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press. ص. 1. ISBN:978-1-139-48876-1. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. ص. 136. ISBN:978-0-387-95313-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ص. 383. ISBN:978-1-118-59320-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Rick Durrett (2010). Probability: Theory and Examples. Cambridge University Press. ص. 277. ISBN:978-1-139-49113-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ ا ب Weiss، George H. (2006). "Random Walks". Encyclopedia of Statistical Sciences. ص. 1. DOI:10.1002/0471667196.ess2180.pub2. ISBN:978-0471667193.
- ^ Aris Spanos (1999). Probability Theory and Statistical Inference: Econometric Modeling with Observational Data. Cambridge University Press. ص. 454. ISBN:978-0-521-42408-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
- ^ Fima C. Klebaner (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press. ص. 81. ISBN:978-1-86094-555-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ Allan Gut (2012). Probability: A Graduate Course. Springer Science & Business Media. ص. 88. ISBN:978-1-4614-4708-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
- ^ Geoffrey Grimmett؛ David Stirzaker (2001). Probability and Random Processes. OUP Oxford. ص. 71. ISBN:978-0-19-857222-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
