هذه المقالة عن مبرهنة ليندمان فايرستراس. لمعلومات عن معانٍ أخرى، طالع مبرهنة فايرستراس (توضيح).

جزء من سلسلة مقالات حول
الثابت الرياضي π
الاستعمالات مساحة القرص المحيط صيغ أخرى
الخواص لا نسبية عدد متسام
القيمة تقريبات تذكّر أقل من 22/7
أشخاص أرشميدس ليو هوي زو تشونغزي أريابهاتا مادهافا السنغماراي لودولف فان ساولن سيكي تاكاكازو تاكيبي كينكو ويليام جونز جون ماكن ويليام شانكس جون رنش الإخوان شودنوفسكي ياسوماسا كانادا
تاريخ تسلسل زمني كتاب
متعلقات متعلقات: تربيع الدائرة معضلة بازل نقطة فينمان أخرى
بوابة هندسة رياضية
ع ن ت

في الرياضيات، مبرهنة ليندمان-فايرشتراس (بالإنجليزية: Lindemann–Weierstrass theorem) هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات تسامي عدد ما من عدمه.^[1]

سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات فيردينوند فون ليندمان وكارل فايرشتراس.

ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد E هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة ${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\,}$ التي تحقق المعادلة:

${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0\,}$

بحيث يكون كلا العددان ${\displaystyle c_{0}}$ و${\displaystyle c_{n}}$ مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.

نضرب طرفي المعادلة بـ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\,}$، في حين سنستعمل الترميز التالي ${\displaystyle \int _{a}^{b}\,}$ كاختصار للتكامل:

${\displaystyle \int _{a}^{b}=\int _{a}^{b}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,}$.

سنصل إلى المعادلة:

${\displaystyle c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{0}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }=0\,}$

والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:

${\displaystyle P_{1}+P_{2}=0\,}$

حيث

${\displaystyle P_{1}=c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{1}^{\infty }+c_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }\,}$

${\displaystyle P_{2}=c_{1}e\int _{0}^{1}+c_{2}e^{2}\int _{0}^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{n}\,}$

الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :${\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,}$ هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد ${\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}\,}$ ليس كذلك.

والسبب في أن ${\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,}$ عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,}$

وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.

ولكي نبرهن على أن:

${\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1\,}$ من أجل k كبير بما يكفي

نشير أولا إلى أن ${\displaystyle x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,}$ هو جداء الدوال ${\displaystyle [x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\,}$ و${\displaystyle (x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}\,}$. وباستعمال المحد العلوي لـ ${\displaystyle |x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|\,}$ و${\displaystyle |(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}|\,}$ على المجال ${\displaystyle [n,0]}$ وبما أن:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0\,}$ لكل عدد حقيقي G.

وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.