هذه المقالة بحاجة لصندوق معلومات. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة صندوق معلومات مخصص إليها.

  ميّز عن متطابقة فايتزينبوخ.

في الهندسة الرياضية، متراجحة فايتزينبوخ،(بالإنجليزية: Weitzenböck's inequality)‏ المسماة على شرف رولاند فايتزينبوخ ، تنص على أنه في مثلث أطوال أضلاعه ${\displaystyle a}$، ${\displaystyle b}$، ${\displaystyle c}$، ومساحته ${\displaystyle \Delta }$، المتراجحة التالية محققة:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\,\Delta .}$

تنتج حالة المساواة إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع.^[1] متراجحة بيدو هي تعميم لمتراجحة فايتزينبوخ.

برهان هذه المفاوتة طلب كسؤال في أولمبياد الرياضيات الدولي لسنة 1961. مع ذلك، فهو ليس صعبًا إذا ما استخدمنا له صيغة هيرون لمساحة مثلث:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\\&{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.\end{aligned}}}$

يمكن إثبات أن مساحة مثلث نابوليون الداخلي، الموجبة، هي:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}\Delta )}$

و إذًا فالتعبير داخل الأقواس أكبر من أو يساوي 0.

هذه الطريقة لاتفترض معرفة بالمتفاوتات باسثتناء علم أن المربعات موجبة.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&(a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0\\{}\iff &2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})\geq 0\\{}\iff &{\frac {4(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{3}}\geq {\frac {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\\{}\iff &{\frac {(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\geq 2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\{}\iff &{\frac {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}\geq (4\Delta )^{2},\end{aligned}}}$

و ستظهر النتيجة تلقائيا عند أخذ الجذور الموجبة لكلا الطرفين. يمكن ملاحظة أيضا من المتراجحة الأولى أن حالة المساواة تتحقق فقط عندما ${\displaystyle a=b=c}$ والمثلث متساوي الأضلاع.

هذا البرهان يفترض معرفة متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي.

${\displaystyle {\begin{aligned}&&(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}&\geq &&0\\\Rightarrow &&2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}&\geq &&2ab+2bc+2ac\\\iff &&3(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq &&(a+b+c)^{2}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)\left({\frac {a+b+c}{3}}\right)^{3}}}\\\Rightarrow &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&4{\sqrt {3}}\Delta .\end{aligned}}}$

وبما أنه تم استعمال متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي، فإن حالة المساواة تتحقق عندما ${\displaystyle a=b=c}$ و المثلث متساوي الأضلاع.

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, (ردمك 9780883853429), pp. 84-86
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Geometric Proofs of the Weitzenböck and Hadwiger-Finsler Inequalities. Mathematics Magazine, Vol. 81, No. 3 (Jun., 2008), pp. 216–219 (JSTOR)
• D. M. Batinetu-Giurgiu, Nicusor Minculete, Nevulai Stanciu: Some geometric inequalities of Ionescu-Weitzebböck type. International Journal of Geometry, Vol. 2 (2013), No. 1, April
• D. M. Batinetu-Giurgiu, Nevulai Stanciu: The inequality Ionescu - Weitzenböck. MateInfo.ro, April 2013, (online copy)
• دانييل بيدو: On Some Geometrical Inequalities. The Mathematical Gazette, Vol. 26, No. 272 (Dec., 1942), pp. 202–208 (JSTOR)
• رولاند فايتزينبوخ: Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie. Mathematische Zeitschrift, Volume 5, 1919, pp. 137–146 (online copy at Göttinger Digitalisierungszentrum)
• Dragutin Svrtan, Darko Veljan: Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities. Forum Geometricorum, Volume 12, 2012, pp. 197–209 (online copy)
• Mihaly Bencze, Nicusor Minculete, Ovidiu T. Pop: New inequalities for the triangle. Octogon Mathematical Magazine, Vol. 17, No.1, April 2009, pp. 70–89 (online copy)

• إيريك ويستاين، متراجحة فايتزينبوخ، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).
• "Weitzenböck's Inequality," an interactive demonstration by Jay Warendorff - Wolfram Demonstrations Project.