تحتوي هذه المقالة اصطلاحات معربة غير مُوثَّقة. لا تشمل ويكيبيديا العربية الأبحاث الأصيلة، ويلزم أن تُرفق كل معلومة فيها بمصدر موثوق به. فضلاً ساهم في تطويرها من خلال الاستشهاد بمصادر موثوق بها تدعم استعمال المصطلحات المعربة في هذا السياق أو إزالة المصطلحات التي لا مصادر لها. (نقاش) (أكتوبر 2015)

في الطوبولوجيا والمجالات المتعلقة بها من الرياضيات، تُسمّى الثنائيةَ (E, T) فضاءً طوبولوجياً، حيث E مجموعة ما وT مجموعةٌ عناصرها هي مجموعات جزئية لِ E، إذا تحققت الخاصياتُ الثلاثة الآتية مجتمعةً:

1. الفراغُ والشمولُ: المجموعة الفارغة Ø و E عضوان في T.^[1][2][3]
2. الوَصْل: أيُ اتحادٍ لأعضاء من T ينتمي لِ T (إن كان نهائياً أو غير نهائي).
3. البَيْن: تقاطع أي مجموعتين من T ينتمي هو أيضا لِـ T (ليس ضروريا أن ينتمي تقاطع عدد لا نهائي من المجموعات من داخل T إلى T).

و في هذه الحالة نسمي T طوبولوجيّةً الفضاء، والمجموعات الأعضاء فيها نسميهن المجموعات المفتوحة في الفضاء. مجموعةٌ التي مكَمّلتها مجموعة مفتوحة تُسمّى مجموعة مغلقة.

في حوالي عام 1735 م، اكتشف ليونهارد أويلر الصيغة ${\displaystyle V-E+F=2}$، والمتعلقة بعدد رؤوس (V) متعدد للأوجه مقعر، وعدد أضلاعه (E) وعدد سطوحه (F). أدت دراسة وتعميمات هذه الصيغة، خصوصا من طرف عالمي الرياضيات كوشي (1789 - 1857) و سيمون انطوان جان لولييه (1750 - 1840)، إلى دراسة معمقة للطوبولوجيا بأكملها. في عام 1827، نشر عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش غاوس كتابا عنوانه أبحاث عامة حول المساحات المنحنية.

لأي فضاء E يمكننا تعريف طوبولوجية عليه {T={E, Ø. ومن الواضح أن هذه المجموعة تحقق كل الشروط المبيَّنة أعلاه. هذا النوع من الطوبولوجيات يسمّى الطوبولوجية البديهية.

لأي فضاء E يمكننا أيضا تعريف طوبولوجية عليه (T=P(E. أي, طوبولوجية التي فيها كل مجموعة جزية للفضاء E هي مجموعة مفتوحة. ومن الواضح, في هذه الحالة أيضا, أن هذه المجموعة تحقق كل الشروط المبيَّنة أعلاه, ولذلك هي طوبولوجية حسب التعريف. هذا النوع من الطوبولوجيات يسمّى الطوبولوجية المنفردة.

• فضاء كولموغوروف.
• فضاء هاوسدورف.
• فضاء شبه طوبولوجي
• فضاء رياضي.
• فضاء تيكونوف.

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.