المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل

معلومات عامة

صنف فرعي من	مبرهنة ستوكس
جزء من	قائمة المبرهنات الرياضية
جانب من جوانب	تفاضل وتكامل
الاسم المختصر	HDI (بالألمانية)
سُمِّي باسم	إسحاق نيوتن غوتفريد لايبنتس
الموضوع الرئيس	مبرهنة أساسية أولى للتفاضل والتكامل مبرهنة أساسية ثانية للتفاضل والتكامل
يدرسه	تفاضل وتكامل

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات

جزء من سلسلة مقالات حول
التفاضل والتكامل
* المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول تفاضل وتكامل كسري
حساب التفاضل مشتق مشتق ثاني حساب المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد قاعدة القوة قاعدة الضرب قاعدة ناتج القسمة قاعدة التسلسل قاعدة لايبنتز للتكامل
حساب التكامل تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة تكامل ريمان تكامل متعدد التكامل بواسطة التجزئة الأقراص الطبقات الأسطوانية التعويض التعويضات المثلثية الكسور الجزئية تغيير الرتب
حساب المتسلسلات متسلسلة هندسية (حسابية هندسية) متسلسلة متناسقة متسلسلة متناوبة متسلسلة قوى متسلسلة ذو الحدين متسلسلة تايلور اختبارات التقارب اختبار الحد النوني اختبار النسبة اختبار الجذر اختبار التكامل للتقارب اختبار المقارنة اختبار مقارنة النهاية اختبار متسلسلة متناوبة اختبار التكثف لكوشي اختبار دركليه اختبار أبيل
حساب المتجهات تدرج تباعد دوران لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس (مبرهنة الدوران) مبرهنة التباعد مبرهنة ستوكس المعممة
حساب متعدد المتغيرات حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
بوابة رياضيات
ع ن ت

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تربط بين عملتي التفاضل والتكامل.^[1][2][3]

الجزء الأول من النظرية ينص على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل. الجزء الثاني من النظرية يمكن الشخص من حساب تكامل محدد لدالة باستخدام أحد اشتقاقاتها العكسية غير المحدودة كثرة. هذا الجزء من النظرية لهُ أهمية كبيرة عملياً لأنه يسهل حساب التكاملات المحددة بشكل كبير.

تقول المبرهنة :

I.

لتكن f دالة حقيقية مستمرة معرفة على مجال مغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة للمتغير x ضمن المجال [a, b] فإن

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$

عندئذ :

${\displaystyle F'(x)=f(x)\,}$

من أجل كل قيمة ل x في (a, b).

II.

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق

${\displaystyle f(x)=F'(x)\,}$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال (a, b)عندئذ :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$.

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق

${\displaystyle f(x)=F'(x)\,}$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال (a, b)

عندئذ

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt+F(a)}$

و

${\displaystyle f(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt}$.

لنحسب التكامل التالي:

${\displaystyle \displaystyle \int _{3}^{9}x^{3}\,\mathrm {d} x.}$

هنا لدينا ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$، أي يمكن استعمال ${\displaystyle F(x)={\dfrac {x^{4}}{4}}}$ كمشتق عكسي. بالتالي:

${\displaystyle \displaystyle \int _{3}^{9}x^{3}\,\mathrm {d} x=F(9)-F(3)={\dfrac {9^{4}}{4}}-{\dfrac {3^{4}}{4}}={\dfrac {6480}{4}}=1620.}$

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.